第3章 随机向量

3.1 随机向量的分布

一、随机向量分布及其分布函数

• 出发点：一个事件的发生的概率受多种因素的共同作用。

• 【定义3.1】 n维随机向量$$(X_1, X_2, X_3, …)∈(\Omega, P)$$，则称$(X_1, X_2, X_3, …)$是在$(\Omega, P)$上的一个随机向量。

• 【定义3.2】 n维随机向量的分布函数$$F(x_1, x_2, …, x_n)=P(X_1\leq x_1, X_2 \leq x_2, …, X_n \leq x_n)$$，又称为n个随机变量的联合分布函数，它表示的是${X_1\leq x_1}, {X_2\leq x_2},…, {X_n\leq x_n}$的交事件

• 对于二维向量，其几何意义是：在平面上围成的面积

随机向量分布函数的性质

以下仅对二维向量作讨论

1. $$P{x_1 \leq X \le x_2, y_1 \le Y \le y_2} \ = F(x_2, y_2) - F(x_1, y_2) - F(x_2, y_1) + F(x_1, y_1)$$
2. 非负性
3. 单调非降，右连续
4. $$F(x, -\infty) = 0 \ F(-\infty, y) = 0 \ F(-\infty, -\infty) = 0 \ F(+\infty, +\infty) = 1$$
5. 边缘分布函数 $$F(x, +\infty) = F_X(x) \ F(+\infty, y) = F_Y(y)$$

二、离散型随机向量的概率分布

• 【定义3.4】 离散型随机向量$(X, Y)$的概率分布，或$X$和$Y$的联合分布，写作 $$P{X = x_i, Y = y_i} = p_{ij}, i, j = 1, 2, …,$$
• 性质
  • 非负性
  • 归一性
• 边缘分布 $$p_{i}^X(i = 1, 2, …) = \sum_j P{X = x_i, Y = y_j} = \sum_j p_{ij}\p_{j}^Y(j = 1, 2, …)同理$$
  • 求$X = x_1$的边缘密度函数，就把所有$y$的取值加起来（用$·$表示all）
  • 
  • $X$

三、连续型随机向量的概率密度函数

四、二元正态分布

3.2 条件分布与随机变量的独立性

一、条件分布与独立性的一般概念

二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性

三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性

3.3 随机向量的函数分布与数学期望

一、离散型随机向量的函数的分布

• 【离散型随机向量函数的定义】 设$Z = g(X, Y)$，则$$P{Z = z_k} = P{g(X, Y) = z_k} \ = \sum_{g(x_i, y_j) = z_k}P{X = x_i, Y = y_j}, k = 1, 2, \dots$$

• 【结论】 设$X$,$Y$为两个相互独立的随机变量，且$X \sim P(\lambda_1)$，$Y \sim P(\lambda_2)$，则$$\xi = X + Y 服从参数为\lambda_1 + \lambda_2的泊松分布$$

二、连续型随机向量的函数的分布

• ==老师不要求计算==
• 【结论：正态分布的再生性】 $X$, $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N \sim (\mu_1, \sigma_1^2)$，$N \sim (\mu_2, \sigma_2^2)$，则任意非零线性组合仍服从正态分布，且$$aX + bY \sim N(a\mu + b\mu, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2 )$$

三、随机向量的函数的数学期望

• 【离散型随机向量函数的数学期望定义】 离散型函数 × 对应的X,Y的联合概率，即 $$EZ = Eg(X, Y) = \sum_{i, j}g(x_i, y_j)p_{ij}$$

• 【连续型随机向量函数的数学期望定义】 连续型函数 × 密度函数，对X,Y的二重积分 $$EZ = Eg(X, Y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x_i, y_j)f(x, y)dxdy$$

四、数学期望的进一步性质

• 记结论
  • 【结论1】$X$, $Y$ 的数学期望存在，则$E(X+Y)$存在，且 $$E(X+Y) = EX + EY$$
  • 【结论2】$X$, $Y$相互独立，数学期望存在，则$E(XY)$存在，且 $$E(XY) = EX EY$$
• 以上结论可推而广之到多个变量